Question

給出下列命題：
①命題“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；
②設p、q 為簡單命題，則“p且q”為假是“p或q為假的必要而不充分條件”；
③函數f（x）=e^-xx²的極小值為f（0），極大值為f（2）；
④雙曲線的漸近線方程是y=±

3

4

x，則該雙曲線的離心率是

5

4

．
⑤等差數列{a_n}中首項為a₁，則數列{2an}為等比數列；
其中真命題的序號為

②③⑤

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：根據含有量詞命題的否定，可得①不正確；根據邏輯聯結詞的理解和充要條件的判斷，可得②正確；利用導數研究函數f（x）=e^-xx²的單調性，可得③正確；根據雙曲線的焦點不一定在x軸，由漸近線方程可得兩個離心率，因此④不正確；根據等差數列的通項公式和等差、等比數列的關系，可得⑤正確．

解答：解：對于①，由于命題“所有的正方形都是矩形”是全稱命題，
故它的否定是“有的正方形不是矩形”，故①不正確；
對于②，根據“p且q”為假得p、q中有假，不一定得到“p或q”是假
反之或“p或q”是假，則p、q都為假，可得“p且q”為假
因此“p且q”為假是“p或q”為假的必要而不充分條件，得②正確；
對于③，求得f（x）=e^-xx²的導數f'（x）=e^-xx（2-x）
可得函數在區間（-∞，0）和（2，+∞）上為減函數，在區間（0，2）上為增函數
因此函數f（x）=e^-xx²的極小值為f（0），極大值為f（2），可得③正確；
對于④，雙曲線的漸近線方程是y=±

3

4

x時，該雙曲線的離心率是

5

4

或

5

3

，可得④不正確；
對于⑤，若數列{a_n}成等差，首項為a₁，設公差為d
可得數列{2an}的通項為b_n=2an=2a1+(n-1)d，構成以2a1為首項，公比q=2^d的等比數列，可得⑤正確
故答案為：②③⑤

點評：本題著重考查了命題真假的判斷和充要條件、利用導數研究函數的單調性、雙曲線的基本概念和等差等比數列的通項與性質等知識，屬于中檔題．