Question

【題目】已知函數，且.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）在函數的圖象上任意取定兩點，，記直線的斜率為，求證：存在唯一，使得成立.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）先對函數求導得，分類討論和，利用導數研究函數的單調性和極值，結合，結合極值與最值關系可求出的值；

（Ⅱ）根據題意，由直線的斜率公式并轉化后得，構造函數，并利用導數研究函數的單調性，將證明存在唯一，使得成立，轉化為證明不等式，即可，分別求出和，再構造函數并根據導數研究單調性和利用導數證明不等式，即可證出.

解：（Ⅰ）由題可知，，則的定義域為，

則，

由于，

當時，因為，所以不滿足題意；

當時，令，解得，

當時，，在區間上單調遞減，

當時，，在區間上單調遞增，

故是在的唯一最小值點，

由于，所以當且僅當，

即時，，故.

（Ⅱ）由題意知，

令，

則，故在區間上單調遞增，

故要證：存在唯一，使得成立，

只需證：，即可，

，

，

令，，

當時，，在區間上單調遞增，

當時，，在區間上單調遞減，

故，

令時，有，

又因為，，因此，

由，令，得，

令時，有，

又因為，因此，

綜上，存在唯一，使得成立.