Question

本題（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分.作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。
（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
已知向量=，變換T的矩陣為A=，平面上的點P（1，1）在變換T
作用下得到點P′（3，3），求A⁴.
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
直線與圓（>0）相交于A、B兩點，設
P（－1，0），且|PA|:|PB|=1:2，求實數的值
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
對于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥²+²恒成立，試求2+的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）=3.
（Ⅲ）(2+)_max=.

（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
本題主要考查矩陣、矩陣與變換等基礎知識，考查運算求解能力。
法1：=    即   =2，
故A= .             ------------------------------------ 2分
由λ₁=－1，λ₂="3."
當λ₁=－1時，矩陣A的特征向量為=.
當λ₂=3時，矩陣A的特征向量為=. -----------------------------4分
故A⁴=A⁴（+2）
=A⁴+2A⁴
=(－1)⁴+2·3⁴
=.          ------------------------------------7分
法2：由=,
即      ，
故A=.             ------------------------------------2分
A²=，
A³=，
A⁴ ， ------------------------------------5分
A⁴=. -----------------------------------7分
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
本題主要考查直線的參數方程，直線與圓的位置關系，考查運算求解能力.
法1：直線參數方程可化為：y=(x+1) --------------------------------1分
聯立方程  ，
消去，得：4+6+3－r="0" . ------------------------------------2分
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（不妨設x₁<x₂），則
Δ=36－16（3－）>0 ， …………①
x₁+x₂=，             …………②
x_1·x₂=，               …………③-----------------------------------3分
，   …………④-----------------------------------5分
由①②③④解得="3.         " -----------------------------------7分
法2：將直線參數方程代入圓方程得
t²－t+1－="0           " -----------------------------------1分
設方程兩根為t₁、t₂，則
Δ=1－4（1－）>0   >.
t₁+t₂=1，t₁·t₂=1－ .…………（*）-----------------------------------3分
由參數t的幾何意義知
 或.    ---------------------------5分
由，解得=3，
由，代入（*）得=3，
故所求實數r的值為3.         -----------------------------------7分
（3）選修4-5：不等式選講
本題主要考查柯西不等式、絕對值不等式及其應用，考查推理論證與運算求解能力
解：|－1|+|－2|=|－1|+|2－|≥|－1+2－|="1" , -------------2分
故²+²≤1.
(2+)²≤(2²+1²)( ²+²) ≤5. ---------------------------------4分
由      ,
即取=，時等號成立. --------------------------------6分
故(2+)_max=.          -----------------------------------7分