Question

【題目】已知等差數列的首項為p，公差為，對于不同的自然數，直線與軸和指數函數的圖象分別交于點與（如圖所示），記的坐標為，直角梯形、的面積分別為和，一般地記直角梯形的面積為.

（1）求證：數列是公比絕對值小于1的等比數列；

（2）設的公差，是否存在這樣的正整數，構成以，，為邊長的三角形？并請說明理由；

（3）設的公差為已知常數，是否存在這樣的實數p使得（1）中無窮等比數列各項的和？并請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）不存在，詳見解析（3）存在，證明見解析

【解析】

（1），直角梯形的兩底長度，.高為，利用梯形面積公式表示出.利用等比數列定義進行證明即可；

（2），，以，，為邊長能構成一個三角形，則考查不等式解的情況作解答；

（3）利用無窮等比數列求和公式，將化簡為，則，探討p的存在性.

解：（1），，

，

對于任意自然數n，，

所以數列是等比數列且公比，

因為，所以；

（2），，

對每個正整數，，

若以，，為邊長能構成一個三角形，

則，即，

即有，這是不可能的.

所以對每一個正整數，以，，為邊長不能構成三角形；

（3）由（1）知，，，

所以，

若，則

兩邊取對數，知只要取值為小于的實數，

就有.