Question

已知拋物線C的頂點是坐標原點，對稱軸是x軸，且點P（1，-2）在該拋物線上，A，B是該拋物線上的兩個點．
（Ⅰ）求該拋物線的標準方程及焦點坐標；
（Ⅱ）若直線AB經過點M（4，0），證明：以線段AB為直徑的圓恒過坐標原點；
（Ⅲ）若直線AB經過點N（0，4），且滿足，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設拋物線C的標準方程為y²=2px，p＞0．由點P（1，-2）在該拋物線上，能求出該拋物線的標準方程及焦點坐標．
（Ⅱ）設原點為O，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB直線方程為y=m（x-4），代入拋物線方程得：m²•（x-4）²=4x，m²x²-（8m²+4）x+16m²=0，利用韋達定理結合題設條件能夠證明以線段AB為直徑的圓恒過坐標原點．
（Ⅲ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得，即A為線段BN的定比分點，λ=3，由此能求出直線AB方程．
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線C的頂點是坐標原點，對稱軸是x軸，且點P（1，-2）在該拋物線上，
∴設拋物線C的標準方程為y²=2px，p＞0．
∵點P（1，-2）在該拋物線上，
∴4=2p，解得p=2，
∴該拋物線的標準方程為y²=4x，焦點坐標為F（1，0）．
（Ⅱ）設原點為O，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB直線方程為y=m（x-4），
代入拋物線方程得：m²•（x-4）²=4x，m²x²-（8m²+4）x+16m²=0，
則x₁+x₂=，x₁x₂=16，
y₁+y₂=m（x₁+x₂-8）=，
y₁y₂=m²（x₁-4）（x₂-4）=-16
AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂+（y₁+y₂）²-4y₁y₂
=-64+16-m²+64
=，
OA²+OB²=+++=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+（y₁+y₂）²-2y₁y₂
=-32+16-m²+32==AB²．
所以，以線段AB為直徑的圓恒過坐標原點．
（Ⅲ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得，
即A為線段BN的定比分點，λ=3，
∴，，
∵=4x₂，①
（）²=4x₁=x₂，②
解得x₂=4，y₂=-4，
∴B（4，-4），
∵AB過N（0，4），
∴直線AB方程：，即 2x+y-4=0．
點評：本題考查拋物線標準方程和焦點坐標的求法，考查圓恒過定點的證明，考查直線方程的求法．解題時要注意向量知識和韋達定理的合理運用．