Question

已知拋物線C的頂點是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦點F與該橢圓的右焦點F重合，拋物線C與橢圓的交點為P，延長PF交拋物線C交于Q，
（1）求拋物線C的方程；
（2）求|PQ|的值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的方程可得a²和b²，進而可得c值，可得拋物線C的焦點，可得p值，進而可得拋物線C的方程；
（2）聯立橢圓與拋物線的方程可得P的坐標，由斜率公式可得PF的斜率，可得直線PF的方程，再聯立直線和拋物線的方程可得Q的坐標，代入兩點間的距離公式可得．

解答：解：（1）由橢圓的方程可得a²=4，b²=3，∴c=

a2-b2

=1，
故橢圓的右焦點為F（1，0），即拋物線C的焦點為（1，0），
故可得

p

2

=1，解得p=2，故2p=4，
∴拋物線C的方程為：y²=4x；
（2）聯立

x2 4 + y2 3 =1 y2=4x

，解得

x= 2 3 y= 2 6 3

，或

x= 2 3 y=- 2 6 3

，
由對稱性不妨取P（

2

3

，

2 6

3

），則可得PF的斜率為k=-2

6

，
故直線PF的方程為：y-0=-2

6

（x-1），即y=-2

6

（x-1），
聯立

y=-2 6 (x-1) y2=4x

，解得

x= 2 3 y= 2 6 3

，或

x= 3 2 y=- 6

，
可知Q（

3

2

，-

6

），故|PQ|=

( 2 3 - 3 2 )2+(- 6 - 2 6 3 )2

=

25

6

點評：本題考查拋物線的標準方程以及橢圓的標準方程，涉及兩點間的距離公式，屬中檔題．