Question

已知拋物線C的頂點是坐標原點，對稱軸是x軸，且點P（1，-2）在該拋物線上，A，B是該拋物線上的兩個點．
（Ⅰ）求該拋物線的標準方程及焦點坐標；
（Ⅱ）若直線AB經過點M（4，0），證明：以線段AB為直徑的圓恒過坐標原點；
（Ⅲ）若直線AB經過點N（0，4），且滿足

BN

=4

AN

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設拋物線C的標準方程為y²=2px，p＞0．由點P（1，-2）在該拋物線上，能求出該拋物線的標準方程及焦點坐標．
（Ⅱ）設原點為O，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB直線方程為y=m（x-4），代入拋物線方程得：m²•（x-4）²=4x，m²x²-（8m²+4）x+16m²=0，利用韋達定理結合題設條件能夠證明以線段AB為直徑的圓恒過坐標原點．
（Ⅲ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

BN

=4

AN

，得

BA

=3

AN

，即A為線段BN的定比分點，λ=3，由此能求出直線AB方程．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線C的頂點是坐標原點，對稱軸是x軸，且點P（1，-2）在該拋物線上，
∴設拋物線C的標準方程為y²=2px，p＞0．
∵點P（1，-2）在該拋物線上，
∴4=2p，解得p=2，
∴該拋物線的標準方程為y²=4x，焦點坐標為F（1，0）．
（Ⅱ）設原點為O，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB直線方程為y=m（x-4），
代入拋物線方程得：m²•（x-4）²=4x，m²x²-（8m²+4）x+16m²=0，
則x₁+x₂=

8m2+4

m2

，x₁x₂=16，
y₁+y₂=m（x₁+x₂-8）=

4

m

，
y₁y₂=m²（x₁-4）（x₂-4）=-16
AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂+（y₁+y₂）²-4y₁y₂
=

(8m2+4)2

m4

-64+16-m²+64
=

80m4+64m2+16

m4

，
OA²+OB²=x12+y12+x22+y22=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+（y₁+y₂）²-2y₁y₂
=

(8m2+4)2

m4

-32+16-m²+32=

80m4+64m2+16

m4

=AB²．
所以，以線段AB為直徑的圓恒過坐標原點．
（Ⅲ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

BN

=4

AN

，得

BA

=3

AN

，
即A為線段BN的定比分點，λ=3，
∴x1=

x2

4

，y1=

y2+12

4

，
∵y22=4x₂，①
（

y2+12

4

）²=4x₁=x₂，②
解得x₂=4，y₂=-4，
∴B（4，-4），
∵AB過N（0，4），
∴直線AB方程：

y-4

x

=

-4-4

4

，即 2x+y-4=0．

點評：本題考查拋物線標準方程和焦點坐標的求法，考查圓恒過定點的證明，考查直線方程的求法．解題時要注意向量知識和韋達定理的合理運用．