Question

（2013•濰坊一模）已知函數f(x)=

3

sin

ωx+φ

2

cos

ωx+φ

2

+sin2

ωx+φ

2

(ω＞0，0＜φ＜

π

2

)．其圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為

π

2

，且過點(

π

3

，1)．
（I）函數f（x）的達式；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=

5

，S△ABC=2

5

，角C為銳角．且滿f(

C

2

-

π

12

)=

7

6

，求c的值．

Answer 1

分析：（I）由二倍角的三角函數公式和輔助角公式，化簡得f（x）=sin（ωx+φ-

π

6

）+

1

2

，結合圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為

π

2

和點(

π

3

，1)在函數圖象上，建立關于ω、φ的關系式，解之即可得到函數f（x）的達式；
（II）將

C

2

-

π

12

代入函數表達式，解出sinC=

2

3

，結合C為銳角，算出cosC=

5

3

．根據面積正弦定理公式，由S_△ABC=2

5

算出b=6，最后由余弦定理代入題中的數據即可求出邊c的值．

解答：解：（I）∵sin

ωx+φ

2

cos

ωx+φ

2

=

1

2

sin（ωx+φ），sin2

ωx+φ

2

=

1

2

[1-cos（ωx+φ）]
∴f(x)=

3

sin

ωx+φ

2

cos

ωx+φ

2

+sin2

ωx+φ

2

=

3

2

sin（ωx+φ）+

1

2

[1-cos（ωx+φ）]=sin（ωx+φ-

π

6

）+

1

2

∵函數圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為

π

2

，∴函數的周期T=

2π

ω

=π，得ω=2
∵點(

π

3

，1)是函數圖象上的點，
∴f（

π

3

）=sin（2×

π

3

+φ+

π

6

）+

1

2

=1，解之得cosφ=

1

2

∵φ∈（0，

π

2

），∴φ=

π

3

因此，函數f（x）的達式為f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

；
（II）f（

C

2

-

π

12

）=sin（C-

π

6

+

π

6

）+

1

2

=

7

6

，解之得sinC=

2

3

∵0＜C＜

π

2

，∴cosC=

1-(sinC)2

=

5

3

又∵a=

5

，S_△ABC=2

5

∴

1

2

×a×b×sinC=2

5

，即

1

2

×

5

×b×

2

3

=2

5

，解之得b=6
根據余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC=5+36-2×

5

×6×

5

3

=21
∴c=

21

，即得c的值為

21

．

點評：本題給出三角函數式，根據函數的圖象特征求函數表達式，并依此解三角形ABC的邊c的長，著重考查了三角恒等變換、正余弦定理和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．