Question

【題目】已知函數且a≠1,函數.

（1）判斷并證明f(x)和g(x)的奇偶性;

（2）求g(x)的值域;

（3）若x∈R,都有|f(x)|≥|g(x)|成立,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）.（3）.

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【解析】

（1）利用定義判斷函數的奇偶性得解；（2）利用雙勾函數的圖象和性質求出值域；（3）考慮到函數f(x),g(x)都是奇函數,故只需保證x≥0時都有|f(x)|≥|g(x)|即可,再對a分兩種情況a＞1和0＜a＜1討論，利用導數求出實數a的取值范圍是.

（1）首先,f(x),g(x)的定義域都是R,是關于原點對稱的,

其次,f(﹣x)=a﹣x﹣a﹣(﹣x)=﹣(ax﹣a﹣x)=﹣f(x),,

∴函數f(x),g(x)均為奇函數;

（2）當x=0時,g(0)=0;

當x≠0時,,

令,則由雙勾函數的性質可知,t∈(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞),

∴,即此時,

綜上,函數g(x)的值域為;

（3）考慮到函數f(x),g(x)都是奇函數,故只需保證x≥0時都有|f(x)|≥|g(x)|即可,

這是因為當x＜0時,|f(x)|=|f(﹣x)|,|g(x)|=|g(﹣x)|,

①先考慮a＞1的情形,此時f(x)=ax﹣a﹣x≥1﹣1=0,g(x)≥0,

因此只需當x≥0時,f(x)﹣g(x)≥0恒成立即可,

令,則,

令,則,

當時,φ′(x)>0,即φ(x)單增,故此時φ(x)min=φ(0)=﹣1;

當時,,故x=0時,φ(x)氣的最小值﹣1,

若,則h′(x)=(ax+a﹣x)lna+φ(x)≥2lna﹣1≥0,

∴h(x)單增,故h(x)≥h(0)=0,符合題設;

若,則,

且0＜x＜1時,,h′(x)單增,

故由零點存在性定理可知存在x0∈(0,1),使得h′(x0)=0,

且x∈(0,x0)時h′(x)＜0,h(x)單減,當x∈(x0,1)時h′(x)＞0,h(x)單增,

則h(x0)<h(0)=0,不符合題意,

故;

②再考慮0＜a＜1的情形,此時,

此時的與①中的a地位等價,同①理可知,即,

綜合①②可知,實數a的取值范圍是.