Question

【題目】如圖，已知四棱錐，平面，，，.

（1）求證：平面；

（2）求證：在線段上存在一點，使得，并指明點的位置；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析；點是的中點（3）

【解析】

（1）根據所給線段，應用勾股定理逆定理可證明，結合平面可知，從而由線面垂直判定定理即可證明平面；

（2）根據垂直關系，以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，設，表示出后結合平面向量數量積垂直的坐標關系，即可求得的值，進而確定的位置.

（3）根據空間直角坐標系，求得平面的法向量平面的法向量，由空間向量數量積定義求得兩個法向量夾角的余弦值，結合二面角為銳二面角，即可求得二面角的大小.

（1）證明：，

.

又，

，

，

又平面，平面，

，

平面，

，

平面.

（2）證明：以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

所以，，.

設，，則，

所以，

，解得，

所以點是的中點.

（3）設平面的法向量為

，，

所以即

令，則.

設平面的法向量為，

因為，，

所以即，

令，則，

所以.

由圖知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的大小為.