Question

【題目】已知函數.

(1)當時,求函數的零點;

(2)當,求函數在上的最大值;

(3)對于給定的正數a,有一個最大的正數,使時,都有,試求出這個正數,并求它的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3),.

【解析】

（1）根據函數零點的定義可解得；

（2）先對分和兩種情況討論，然后對再分和兩種情況討論，結合二次函數可求得；

（3）因為時,,故問題只需在給定的區間內恒成立,再按照 和兩種情況分類討論，即可得到結論.

(1)令，得,

當時,方程化簡為:,

解得: (舍去)或(舍),

當時,方程化簡為:,

解得:(舍去),或,

∴.

(2)當時，因為，所以在時取得最大值1；

當時，，其對稱軸為，

若，即時，在上的最大值為，

若即時，在上的最大值為，

綜上所述：函數在上的最大值為

(3)∵當時,,故問題只需在給定的區間內恒成立,

由,分兩種情況討論:

當時,即時,

是方程的較小根

當時,即時,

是方程的較大根,

綜上,且.