Question

一臺儀器每啟動一次都隨機地出現一個5位的二進制數A=a₁a₂a₃a₄a₅，其中A的各位數字中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出現0的概率為

1

3

，出現1的概率為

2

3

．例如：A=10001，其中a₁=a₅=1，a₂=a₃=a₄=0．記ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，當啟動儀器一次時     
（Ⅰ）求ξ=3的概率；      
（Ⅱ）求ξ的概率分布列及Eξ

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得：P（ξ=3）=

C

2 4

•(

1

3

)2•(

2

3

)2，由此能求出ξ=3的概率．
（Ⅱ）由題設知，ξ的可能取值為1，2，3，4，5，分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：P（ξ=3）=

C

2 4

•(

1

3

)2•(

2

3

)2=

8

27

．
（Ⅱ）由題設知，ξ的可能取值為1，2，3，4，5，
且P（ξ=1）=

C

0 4

(

1

3

)4=

1

81

，
P（ξ=2）=

C

1 4

(

1

3

)3(

2

3

) =

8

81

，
P（ξ=3）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

，
P（ξ=4）=

C

3 4

(

1

3

) (

2

3

)3=

32

81

，
P（ξ=5）=

C

4 4

(

2

3

)4=

16

81

，
故ξ的概率分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

∴Eξ=1×

1

81

+2×

8

81

+3×

24

81

+4×

32

81

+5×

16

81

=

11

3

．

點評：本題考查離散型隨機變量的概率分布列和數學期望，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的靈活運用．