Question

一臺儀器每啟動一次都隨機地出現一個5位的二進制數A=a₁a₂a₃a₄a₅，其中A的各位數字中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出現0的概率為

1

3

，出現1的概率為

2

3

．記ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅（例如：A=10101，即表示a₁=a₃=a₅=1，a₂=a₄=0，而ξ=3），當儀器啟動一次時，
（1）求ξ=3的概率；
（2）求ξ的概率分布列；
（3）若啟動一次出現的數字為A=10101則稱這次試驗成功，求5次重復試驗成功的次數的期望．

Answer 1

分析：（1）此題需要進行轉化，不能直接套公式，由a₁=1，可知有一次的試驗結果已經確定；當ξ=3時的概率，相當于在后面的4個數中出現2個1，計算可得答案；
（2）分析ξ的取值情況，結合變量對應的事件和獨立重復試驗的概率公式，做出變量對應的概率，并列出ξ值的分布列，
（3）由題意知變量符合二項分布，根據成功概率和實驗的次數，用二項分布的期望公式得到結果．

解答：解：（1）由題意知數字出現的次數符合獨立重復試驗，
當ξ=3時的概率，相當于在后面的4個數中出現2個1，
p(ξ=3)=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2=

24

81

（2）ξ的可能取值為1，2，3，4，5，
p(ξ=1)=(

1

3

)4=

1

81

     p(ξ=2)=

C

1 4

(

1

3

)3•(

2

3

)=

8

81

     p(ξ=3)=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2=

24

81

p(ξ=4)=

C

3 4

(

2

3

)3•(

1

3

)=

32

81

       p(ξ=5)=(

2

3

)4=

16

81

∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
p	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

（3）啟動一次出現數字為A=|0|0|的概率P=(

1

3

)2(

2

3

)2=

4

81

由題意知變量符合二項分布，
根據成功概率和實驗的次數的值，
有η～B(5，

4

81

)
∴η的數學期望為Eη=

20

81

．

點評：本題考查的知識點是n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，由a₁=1，將ξ=n，轉化為后面的4個數中出現n-1個1是解答本題的關鍵．