Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，都有成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）試問過點可作多少條直線與曲線相切？并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析，理由見解析

【解析】

（Ⅰ）首先求出函數的定義域和導函數，根據導函數分類討論的取值范圍；當時，當時，分析的正負即可求解.

（Ⅱ）由（Ⅰ）中的導函數討論是否在區間內，利用函數的單調性求出函數的最值，使即可解不等式即可.

（Ⅲ）法一：設切點為，求出切線方程，從而可得，令，討論的取值范圍，分析函數的的單調性以及在上的零點即可求解；

法二：設切點為，求出切線方程，從而可得，分離參數可得，令，討論的單調性求出函數的值域，根據值域確定的范圍即可求解.

（Ⅰ）函數的定義域為，.

（1）當時，恒成立，函數在上單調遞增；

（2）當時，令，得.

當時，，函數為減函數；

當時，，函數為增函數.

綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為.

當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

（1）當時，即時，函數在區間上為增函數，

所以在區間上，，顯然函數在區間上恒大于零；

（2）當時，即時，函數在上為減函數，在上為增函數，

所以.

依題意有，解得，所以.

（3）當時，即時，在區間上為減函數，

所以.

依題意有，解得，所以.

綜上所述，當時，函數在區間上恒大于零.

另解：當時，顯然恒成立.

當時，恒成立恒成立的最大值.

令，則，易知在上單調遞增，

所以最大值為，此時應有.

綜上，的取值范圍是.

（Ⅲ）設切點為，則切線斜率，

切線方程為.

因為切線過點，則.

即.①

令，則.

（1）當時，在區間上，，單調遞增；

在區間上，，單調遞減，

所以函數的最大值為.

故方程無解，即不存在滿足①式.

因此當時，切線的條數為0.

（2）當時，在區間上，，單調遞減，在區間上，，單調遞增，

所以函數的最小值為.

取，則.

故在上存在唯一零點.

取，則.

設，，則.

當時，恒成立.

所以在單調遞增，恒成立.

所以.

故在上存在唯一零點.

因此當時，過點存在兩條切線.

（3）當時，，顯然不存在過點的切線.

綜上所述，當時，過點存在兩條切線；

當時，不存在過點的切線.

另解：設切點為，則切線斜率，

切線方程為.

因為切線過點，則，

即.

當時，無解.

當時，，

令，則，

易知當時，；當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

又，且，

故當時有兩條切線，當時無切線，

即當時有兩條切線，當時無切線.

綜上所述，時有兩條切線，時無切線.