Question

已知以下四個命題：
①如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個實根，且x₁＜x₂，那么不等式ax²+bx+c＜0的解集為
{x|x₁＜x＜x₂}；
②“若m＞2，則x²-2x+m＞0的解集是實數集R”的逆否命題；
③若

x-1

x-2

≤0，則（x-1）（x-2）≤0．
④直線y=1與曲線y=x²-|x|+a有四個交點，則a的取值范圍是(1，

5

4

)
其中為真命題的是

 

（填上你認為正確的序號）

Answer 1

分析：根據二次不等式的解法，可以判斷①的真假；根據四種命題真假性的關系，可以判斷②的正誤；由分式不等式的解法，可以判斷③的對錯；根據函數的奇偶性，可以判斷④的真假，進而得到答案．

解答：解：①當a＞0時，不等式ax²+bx+c＜0的解集為{x|x₁＜x＜x₂}；
當a＜0時，不等式ax²+bx+c＜0的解集為{x|x＜x₁，或x＞x₂}．故①不成立．
②∵若m＞2，則x²-2x+m＞0的解集是實數集R為真命題，∴“若m＞2，則x²-2x+m＞0的解集是實數集R”的逆否命題也為真命題，故②成立；
③若

x-1

x-2

≤0，則（x-1）（x-2）≤0且x-2≠0，故③錯誤；
④y=|x|²-|x|+a是個偶函數，圖象關于y軸對稱，
當x≥0時，y=x²-x+a，對稱軸 x=

1

2

，
在（0，

1

2

），y∈（

a-1

4

，a）
在（

1

2

，+∞），y∈（-∞，

a-1

4

）
由此知當

a-1

4

＜1＜a時，直線y=1與曲線y=x²-|x|+a有四個交點，
解得1＜a＜

5

4

．故④成立．
故答案為：②④．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，命題的否定，函數的周期性及一元二次不等式的解法，直接考查了這些知識的基本應用，屬于基礎題．