Question

已知函數f(x)=2sin2(

π

4

+x)+

3

cos2x-1，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；
（2）函數f（x）的圖象由函數y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到？（寫出變換過程）
（3）在△ABC中，若f(C)=

3

， 2sinB=cos(A-C)-cos(A+C)，求tanA的值．

Answer 1

分析：（1）用三角函數的降冪公式結合

π

2

+α的誘導公式，可得2sin2(

π

4

+x)=1+sin2x．代入函數f（x），再用輔助角公式：asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+φ)，進行合并化簡得f（x）=2sin(2x+

π

3

)，最后可用函數y=Asin（ωx+φ）的周期與單調性的結論與公式，得到函數f（x）的最小正周期和單調增區間．
（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的規律，先進行相位變換將圖象左移，然后再分別進行橫坐標和縱坐標的伸縮，可得到函數f（x）=2sin(2x+

π

3

)的變換過程．
（3根據（1）的表達式，解方程f(C)=

3

，結合C為三角形內角，得到C=

π

6

，將其代入已知等式化簡可得（

3

-1）sinA=-cosA，最后利用同角三角函數的關系，可得 tanA的值．

解答：解：（1）∵2sin2(

π

4

+x)=2×

1- cos( π 2 +2x)

2

=1-cos(

π

2

+2x)=1+sin2x，
∴f(x)=2sin2(

π

4

+x)+

3

cos2x-1=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)
所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x+ 

π

3

≤

π

2

+2kπ，解得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

∴函數f（x）的單增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z
（2）函數f（x）的圖象可由函數y=sinx的圖象先向左平移

π

3

個單位，
然后將圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

1

2

，最后將圖象上的點橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍而得．
（3）由（1）得f(C)=2sin(2C+

π

3

)=

3

，所以sin(2C+

π

3

)=

3

2

∵0＜C＜π，

π

3

＜2C+

π

3

＜

7π

3

，
∴2C+

π

3

=

2π

3

，可得C=

π

6

，
∵在△ABC中，π-B=A+C，得sinB=sin（A+C）
∴2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）可化為：2sin（A+C）=cos（A-C）-cos（A+C）
展開化簡得：2sinAcosC+2cosAsinC=2sinAsinC，
將C=

π

6

代入，得2sinAcos

π

6

+2cosAsin

π

6

=2sinAsin

π

6

，
∴

3

sinA+cosA=sinA，即（

3

-1）sinA=-cosA，
所以tanA=

sinA

cosA

=-

3 +1

2

．

點評：本題給出一個特殊的三角函數，結合三角函數的降次公式、誘導公式和輔助角公式，求函數的單調區間與周期，以及求三角函數的值，著重考查了正弦函數的單調性、三角函數的化簡求值和函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換等知識點，屬于中檔題．