Question

【題目】已知橢圓，四點，，，，恰有三點在橢圓上．

（1）求的方程；

（2）設、為橢圓在左、右焦點，是橢圓在第一象限上一點，滿足，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

(1)根據橢圓的對稱性，得到三點在橢圓上，把代入橢圓，即可求出橢圓方程；

(2)由可得點坐標，設出直線方程，代入橢圓方程,利用韋達定理及弦長公式可得，由點到直線的距離公式可得三角形的高,由三角形面積公式及基本不等式可得結論.

（1）∵橢圓，

四點、、、

結合橢圓幾何特征，可得、、在橢圓上，

所以，，解得，

∴橢圓的方程為．

（2）由橢圓的方程可知：，，，

，，

由，即，

由，解得，則點坐標為，

設直線的方程為，，

整理得，由得，

則，，，，

∴，．

當且僅當，即時，取等號，

∴面積的最大值1．