Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，△為等邊三角形，，，，分別為棱，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）證明和即可證明

（2）取的中點，連結，得，以為原點，以所在直線分別為軸如圖建系，求得兩平面的法向量，利用二面角向量公式求解

（3）假設棱上存在點，使得平面，且設，求得平面的法向量，利用得

（1）因為平面，平面，平面，所以，．

又因為△為等邊三角形，為的中點，所以．，

所以平面．

（2）取的中點，連結，則易知，，．因為△為等邊三角形，所以．

以為原點，以所在直線分別為軸如圖建系，

，，，

設平面的法向量，則：，即，

令，得平面的一個法向量，易知平面的一個法向量為

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

（3）假設棱上存在點，使得平面，且設，則，

，則，

，要使得平面，則，得，

所以線段上存在點，使得平面，．