Question

對定義在區間D上的函數f（x），若存在常數k＞0，使對任意的x∈D，都有f（x+k）＞f（x）成立，則稱f（x）為區間D上的“k階增函數”．
（1）若f（x）=x²為區間[-1，+∞）上的“k階增函數”，則k的取值范圍是______．
（2）已知f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0，f（x）=|x-a²|-a²．若f（x）為R上的“4階增函數”，則實數a的取值范圍是______．

Answer 1

（1）根據題意，f（x+k）＞f（x）恒成立，且f（x）=x²為區間[-1，+∞）上的“k階增函數”，
所以有（x+k）²＞x²得2x+k＞0，即k＞-2x恒成立，因為x∈[-1，+∞），
所以，k＞（-2x）_max=2所以，（2，+∞）．
（2）因為函數f（x）是定義在R上的奇函數，
則當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-|x+a²|+a²
所以函數的最大零點為2a²，最小零點為-2a²，函數y=f（x+4）的最大零點為2a²-4，
因為f（x）=|x-a²|-a²．若f（x）為R上的“4階增函數”，
所以對任意x∈R恒成立，
即函數y=f（x+4）圖象在函數y=f（x）的圖象的上方，
即有2a²-4＜-2a²，
所以a取值范圍為（-1，1）．