Question

已知函數f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數，當x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx（其中e是自然界對數的底，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）設，求證：當a=-1時，；
（3）是否存在實數a，使得當x∈[-e，0）時，f（x）的最小值是3？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設x∈[-e，0）則-x∈（0，e]，再求出f（-x）利用函數是奇函數求出f（x），最后用分段函數表示出函數的解析式；
（2）由（1）知x∈[-e，0）時f（x）的解析式，再構造函數，分別求出這兩個函數的導函數和符號，判斷出它們在區間[-e，0）的單調性，并求出f（x）的最小值和h（x）的最大值，判斷出最小值比最大值大，則不等式成立；
（3）先假設存在實數a滿足條件，再求出x∈[-e，0）時f（x）的導函數，對a的符號分類討論來確定f'（x）的符號，進而判斷出在區間[-e，0）上的單調性，求出最小值和m的值，注意驗證范圍是否符合．
解答：解：（1）設x∈[-e，0），則-x∈（0，e]，∴f（-x）=-ax+ln（-x），
又∵f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x），
∴函數f（x）的解析式為

（2）證明：當x∈[-e，0）且a=-1時，，
設，
∵，
∴當-e≤x≤-1時，f'（x）≤0，此時f（x）單調遞減；
當-1＜x＜0時，f'（x）＞0，此時f（x）單調遞增，
∴f（x）_min=f（-1）=1＞0，
又∵，
∴當-e≤x＜0時，h'（x）≤0，此時h（x）單調遞減，
∴
∴當x∈[-e，0）時，f（x）＞h（x），即

（3）解：假設存在實數a，使得當x∈[-e，0）時，f（x）=ax-ln（-x）有最小值是3，
則
（ⅰ）當a=0，x∈[-e，0）時，．f（x）在區間[-e，0）上單調遞增，
f（x）_min=f（-e）=-1，不滿足最小值是3
（ⅱ）當a＞0，x∈[-e，0）時，f'（x）＞0，f（x）在區間[-e，0）上單調遞增，
f（x）_min=f（-e）=-ae-1＜0，也不滿足最小值是3
（ⅲ）當，由于x∈[-e，0），則，
故函數f（x）=ax-ln（-x）是[-e，0）上的增函數．
∴f（x）_min=f（-e）=-ae-1=3，解得（舍去）
（ⅳ）當時，則
當時，，此時函數f（x）=ax-ln（-x）是減函數；
當時，，此時函數f（x）=ax-ln（-x）是增函數．
∴，解得a=-e²
綜上可知，存在實數a=-e²，使得當x∈[-e，0）時，f（x）有最小值3．
點評：本題是一道綜合題，考查了利用函數的奇偶性求函數的解析式；構造函數再求其導函數求函數最值證明不等式成立問題；對含有參數用分類討論思想判斷導函數的符號再求出函數的最值，本題綜合性強且計算量大，應是難度很大的題．