Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，點為棱的中點．

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）可以建立空間直角坐標系，利用向量數量積來證明，；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直線與平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式來求二面角的余弦值．

依題意，以點為原點建立空間直角坐標系（如圖），可得，，由點為棱的中點，得．

（1）向量，，故． ∴．

（2）向量，設為平面的法向量，則，即，

不妨令，可得為平面的一個法向量．

于是有，

∴直線與平面所成角的正弦值為．

（3），

由點在棱上，故，

由，得，解得，即．

設為平面的法向量，則，即，不妨令，可得為平面的一個法向量．取平面的法向量，則．

易知，二面角是銳角，∴其余弦值為．