Question

【題目】2019年，中國的國內生產總值（GDP）已經達到100億元人民幣，位居世界第二，這其中實體經濟的貢獻功不可沒，實體經濟組織一般按照市場化原則運行，某生產企業一種產品的成本由原料成本及非原料成本組成，每件產品的非原料成本（元）與生產該產品的數量（千件）有關，經統計得到如下數據：

根據以上數據繪制了如下的散點圖

現考慮用反比例函數模型和指數函數模型分別對兩個變量關系進行擬合，為此變換如下：令，則，即與也滿足線性關系，令，則，即也滿足線線關系，這樣就可以使用最小二乘法求得非線性回歸方程，已求得用指數函數模型擬合的回歸方程為與的相關系數，其他參考數據如下（其中）

（1）求指數函數模型和反比例函數模型中關于的回歸方程；

（2）試計算與的相關系數，并用相關系數判斷：選擇反比例函數和指數函數兩個模型中哪一個擬合效果更好（精確到0.01）？

（3）根據（2）小題的選擇結果，該企業采用訂單生產模式（即根據訂單數量進行生產，產品全部售出），根據市場調研數據，該產品定價為100元時得到簽到訂單的情況如下表：

訂單數（千件）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
概率

已知每件產品的原來成本為10元，試估算企業的利潤是多少？（精確到1千元）

參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別是：相關系數：

Answer 1

【答案】（1）指數模型回歸方程為，反比例函數回歸方程為；（2）反比例函數；（3）612（千元）

【解析】

（1）對兩邊取對數，可得，即，再把代入，可求得，然后令，則，結合參考公式即可求得，，從而求得回歸方程；

（2）利用參考公式求出相關系數，再與（1）中的相比較，即可得解；

（3）設該企業的訂單期望為（千件），先利用錯位相減法求出的值，再算出企業的利潤．

解：（1）因為，所以，，將代入上式，得，所以.

令，則，因為，所以，

則，

所以， 所以y關于x的回歸方程為.

綜上，指數模型回歸方程為，反比例函數回歸方程為；

（2）y與的相關系數為，

因為，所以用反比例函數模型擬合效果更好.

（3）設該企業的訂單期望為S（千件），

則

令 ①

②

②-①，得

化簡得，所以

所以該企業的利潤約為：（千元）