Question

【題目】在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為 ，（t為參數），直線l2的參數方程為 ，（m為參數）．設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）寫出C的普通方程；
（Ⅱ）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M為l3與C的交點，求M的極徑．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直線l1的參數方程為 ，（t為參數），
∴消掉參數t得：直線l1的普通方程為：y=k（x﹣2）①；
又直線l2的參數方程為 ，（m為參數），
同理可得，直線l2的普通方程為：x=﹣2+ky②；
聯立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程為x2﹣y2=4；
（Ⅱ）∵l3的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，
∴其普通方程為：x+y﹣ =0，
聯立 得： ，
∴ρ2=x2+y2= + =5．
∴l3與C的交點M的極徑為ρ= ．
【解析】解：（Ⅰ）分別消掉參數t與m可得直線l1與直線l2的普通方程為y=k（x﹣2）①與x=﹣2+ky②；聯立①②，消去k可得C的普通方程為x2﹣y2=4；
（Ⅱ）將l3的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0化為普通方程：x+y﹣ =0，再與曲線C的方程聯立，可得 ，即可求得l3與C的交點M的極徑為ρ= ．
【考點精析】利用極坐標系和直線的參數方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面內取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線OX叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系；經過點，傾斜角為的直線的參數方程可表示為（為參數）．