Question

設函數f（x）的定義域為A，值域為B，如果存在函數x=g（t），使得函數y=f（g（t））的值域仍然是B，那么稱函數x=g（t）是函數f（x）的一個等值域變換．
（1）判斷下列函數x=g（t）是不是函數f（x）的一個等值域變換？說明你的理由．
①f（x）=2x+1，x∈R，x=g（t）=t²-2t+3，t∈R；
②f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R；
（2）設函數f(x)=log2(x2-x+1)，g（t）=at²+2t+1，若函數x=g（t）是函數f（x）的一個等值域變換，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知等值域變換的定義，分別求出f（x）和g（x）的值域和定義域，對①②進行一一驗證，從而求解；
（2）已知函數f(x)=log2(x2-x+1)，g（t）=at²+2t+1，求出其值域和定義域，分三種情況進行討論：①a＞0；②a=0；③a＜0，從而求解；

解答：解：（1）①函數f（x）=2x+1，x∈R的值域為R，
∵x=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，
∴y=f（g（t））=2[（t-1）²+2]+1≥5，
所以，x=g（t）不是f（x）的一個等值域變換
②f(x)=x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，
即f（x）的值域為[

3

4

，+∞)，
當t∈R時，f(g(t))=(2t-

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，
即y=f（g（t））的值域仍為[

3

4

，+∞)，
所以x=g（t）是f（x）的一個等值域變換；
（2）由x²-x+1＞0解得x∈R
函數f(x)=log2(x2-x+1)=log2[(x-

1

2

)2+

3

4

]≥log2

3

4

即f（x）的值域為[log2

3

4

，+∞)
①若a＞0，函數g（t）=at²+2t+1有最小值1-

1

a

，
只需1-

1

a

≤

1

2

，即0＜a≤2，
就可使函數y=f（g（t））的值域仍為[log2

3

4

，+∞)
②若a=0，函數g（t）=at²+2t+1=2t+17的值域為R，
函數y=f（g（t））的值域仍為[log2

3

4

，+∞)
③若a＜0，函數g（t）=at²+2t+110有最大值1-

1

a

只需1-

1

a

≥

1

2

，即a＜0，
就可使函數y=f（g（t））的值域仍為[log2

3

4

，+∞)
綜上可知：實數a的取值范圍為（-∞，2]．

點評：此題主要考查二次函數的性質，考查新定義，解題的關鍵的是能夠讀懂新定義，利用了分類討論的思想，是一道綜合題；