伴你學單元達標測試卷九年級數學蘇科版
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18. （本題12分）關于$x$的一元二次方程$x^{2}-2mx + m^{2}-1=0$.
(1) 求證：不論$m$取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；
(2) 若等腰三角形$ABC$的一邊長為3，另兩邊的長恰好是方程的兩根，求$m$的值.
答案：(1) 證明：$\Delta=4m^{2}-4(m^{2}-1)=4＞0$，故方程總有兩個不相等實根。
(2)$m=2$或$m=4$
解析：方程兩根為$m + 1$和$m - 1$。若3為腰長，則$m + 1=3$或$m - 1=3$，解得$m=2$（三邊2，3，3）或$m=4$（三邊3，5，3）；若3為底邊，則$m + 1=m - 1$，無解。綜上$m=2$或$4$。
19. （本題12分）用$54\ m$長的竹柵欄圍一個矩形菜園，菜園的一邊靠墻長為$a\ m$的墻，另三邊用竹柵欄圍成，且在與墻平行的一邊開兩扇門，寬度都是$1\ m$，設與墻垂直的一邊長為$x\ m$.
(1) 當$a = 41$時，矩形菜園面積是$320\ m^{2}$，求$x$；
(2) 當$a$足夠大時，問矩形菜園的面積能否達到$400\ m^{2}$？
答案：(1) 與墻平行的一邊長為$54 - 2x + 2=56 - 2x$（因為兩扇門寬度共$2m$，需加到柵欄長度上）。根據面積公式可得$x(56 - 2x)=320$，整理得$x^{2}-28x + 160=0$，因式分解為$(x - 8)(x - 20)=0$，解得$x=8$或$x=20$。當$x=8$時，$56 - 2x=40\leq41$；當$x=20$時，$56 - 2x=16\leq41$，均符合題意，所以$x=8$或$x=20$。
(2) 不能
解析：面積$x(56 - 2x)=-2x^{2}+56x$，最大值為$\frac{4×(-2)×0 - 56^{2}}{4×(-2)}=392＜400$，故不能。
