Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若點P從點A出發，以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運動，設運動時間為t秒（t＞0）．

（1）若點P在AC上，且滿足PA＝PB時，求出此時t的值；

（2）若點P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值；

（3）在運動過程中，直接寫出當t為何值時，△BCP為等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）或6；（3）當或時，△BCP為等腰三角形．

【解析】

（1）設存在點P，使得，此時，，根據勾股定理列方程即可得到結論；

（2）當點P在的平分線上時，如圖1，過點P作于點E，此時，，，根據勾股定理列方程即可得到結論；

（3）在中，根據勾股定理得到，根據題意得：，當P在AC上時，為等腰三角形，得到，即，求得，當P在AB上時，為等腰三角形，若，點P在BC的垂直平分線上，如圖2，過P作于E，求得，若，即，解得，，如圖3，過C作于F，由射影定理得；，列方程，即可得到結論．

解：在中，，，

，

（1）設存在點P，使得，

此時，，

在中，，

即：，

解得：，

當時，；

（2）當點P在的平分線上時，如圖1，過點P作于點E，

此時，，，

在中，，

即：，

解得：，

當時，點與重合，也符合條件，

當或6時，在的角平分線上；

（3）根據題意得：，

當P在AC上時，為等腰三角形，

，即，

，

當P在AB上時，為等腰三角形，

，點P在BC的垂直平分線上，

如圖2，過P作于E，

，

，即，解得：，

，即，

解得：，

，如圖3，過C作于F，

，

，

由射影定理得；，

即，

解得：，

當時，為等腰三角形．