Question

【題目】如圖，已知拋物線交x軸于A．B兩點，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點E，點B的坐標為(1，0)．

（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；

（2）連結CA與拋物線的對稱軸交于點D．

①在對稱軸上找一點P，使ΔAPC為直角三角形，求點P的坐標．

②在拋物線上是否存在點M，使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線CM的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的對稱軸為；點A的坐標為；（2）①點P坐標為或或或；②存在這樣的點，此時直線CM的解析式為．

【解析】

（1）令解關于x的一元二次方程可得點A坐標；再將拋物線的解析式化為頂點式可得對稱軸；

（2）①先求出點C坐標，再根據直角三角形的定義分三種情況，然后分別根據勾股定理求解即可得；

②如圖（見解析），先求出四邊形DEOC的面積，從而可得的面積，再根據三角形的面積公式可得OF的長，從而可得點F坐標，然后利用待定系數法可求出直線CM的解析式，最后聯立一次函數和二次函數的解析式，看是否有交點即可得．

（1）令得

解得或

則點A的坐標為

二次函數化為頂點式

則拋物線的對稱軸為；

（2）①令得，則點C坐標為

設點P坐標為

由直角三角形的定義，分以下三種情況：

當PA為斜邊時，則

即，解得

此時，點P坐標為

當PC為斜邊時，則

即，解得

此時，點P坐標為

當AC為斜邊時，則

即，解得

此時，點P坐標為或

綜上，點P坐標為或或或；

②存在，求解過程如下：

∵軸，

是等腰直角三角形，，四邊形DEOC為直角梯形

是等腰直角三角形

設直線CM的解析式為，與OE的交點為點F

由題意得：

解得

將點代入直線CM的解析式得：

解得

則直線CM的解析式為

聯立，解得或

故存在這樣的點，此時直線CM的解析式為．