Question

【題目】如圖，四邊形ABDC中，，點O為BD的中點，且OA平分．

（1）求證：OC平分；

（2）求證：；

（3）求證：AB+CD=AC．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）過點O作OE⊥AC于E，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OB＝OE，從而求出OE＝OD，然后根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明；

（2）利用“HL”證明△ABO和△AEO全等，根據全等三角形對應角相等可得∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根據垂直的定義即可證明；

（3）根據全等三角形對應邊相等可得AB＝AE，CD＝CE，然后證明即可．

（1）過點O作OE⊥AC于E，

∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，

∴OB＝OE，

∵點O為BD的中點，

∴OB＝OD，

∴OE＝OD，

∴OC平分∠ACD；

（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，

，

∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），

∴∠AOB＝∠AOE，

同理求出∠COD＝∠COE，

∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝×180°＝90°，

∴OA⊥OC；

（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，

∴AB＝AE，

同理可得CD＝CE，

∵AC＝AE＋CE，

∴AB＋CD＝AC．