Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°， BC∥x軸，拋物線y=ax2－2ax＋3經過△ABC的三個頂點，并且與x軸交于點D、E，點A為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接CD，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P使△PCD為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P1(1，4) P2(1，-2) .

【解析】

試題（1）根據題意知點B的坐標為（0，3）拋物線的對稱軸方程為x=1，所以A點坐標為（1，4），C點坐標為（2，3），由此可求拋物線的解析式.

(2)分兩種情況：CD為直角邊，CD為斜邊進行討論，由勾股定理得到方程即可求出P點坐標.

試題解析：（1）∵y=ax2－2ax＋3

∴它的對稱軸為直線x=

令x=0，則y=3,

∴B（0，3）

根據拋物線的對稱性知：C（2，3），A（1，4）

把A（1，4）代入y=ax2－2ax＋3，得：a=-1

∴拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；

（2）存在.分兩種情況：

（1）當CD為直角邊時，設P（1，a）：

i)當點P在x軸上方時，DP=，CP=，，

∵CD2+CA2=AD2

∴18+2=4+a2

即：a2=16

解得a=±4（負舍去）

∴a=4

ii)當點P在x軸下方時，CD2+DP2=CP2

∴

解得：a=-2

(2)當CD為斜邊時，同理可以得出：a=

綜上所述，點P的坐標分別為：P1(1，4) P2(1，-2)