Question

【題目】建立模型：

如圖1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，頂點(diǎn)C在直線l上．

操作：

過點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥l于點(diǎn)E．求證：△CAD≌△BCE．

模型應(yīng)用：

（1）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=x+4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，將直線l1繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到l2．求l2的函數(shù)表達(dá)式．

（2）如圖3，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（8，6），作BA⊥y軸于點(diǎn)A，作BC⊥x軸于點(diǎn)C，P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q（a，2a﹣6）位于第一象限內(nèi)．問點(diǎn)A、P、Q能否構(gòu)成以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若能，請求出此時(shí)a的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4；（2）a的值為或4．

【解析】

試題分析：操作：根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠ACD=∠CBE，根據(jù)全等三角形的判定，可得答案；

應(yīng)用（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CD，BD的長，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AC的解析式；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解：操作：如圖1：

，

∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

在△ACD和△CBE中，

∴△CAD≌△BCE（AAS）；

（1）∵直線y=x+4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，

∴A（0，4）、B（﹣3，0）．

如圖2：

，

過點(diǎn)B做BC⊥AB交直線l2于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥x軸

在△BDC和△AOB中，

，

△BDC≌△AOB（AAS），

∴CD=BO=3，BD=AO=4．OD=OB+BD=3+4=7，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣7，3）．

設(shè)l2的解析式為y=kx+b，將A，C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

，

解得

l2的函數(shù)表達(dá)式為y=x+4；

（2）由題意可知，點(diǎn)Q是直線y=2x﹣6上一點(diǎn)．

如圖3：

，

過點(diǎn)Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點(diǎn)E、F．

在△AQE和△QPF中，

，

∴△AQE≌△QPF（AAS），

AE=QF，即6﹣（2a﹣6）=8﹣a，

解得a=4

如圖4：

，

過點(diǎn)Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點(diǎn)E、F，

AE=2a﹣12，F(xiàn)Q=8﹣a．

在△AQE和△QPF中，

，

△AQE≌△QPF（AAS），

AE=QF，即2a﹣12=8﹣a，

解得a=；

綜上所述：A、P、Q可以構(gòu)成以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，a的值為或4．