Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC，AC分別交于D，E兩點，過點D作DH⊥AC于點H．
（1）判斷DH與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）求證：H為CE的中點；
（3）若BC=10，cosC= ，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：DH與⊙O相切．理由如下：

連結OD、AD，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

而AO=BO，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴OD⊥DH，

∴DH為⊙O的切線

（2）證明：連結DE，如圖，

∵四邊形ABDE為⊙O的內接四邊形，

∴∠DEC=∠B，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠DEC=∠C，

∵DH⊥CE，

∴CH=EH，即H為CE的中點

（3）解：在Rt△ADC中，CD= BC=5，

∵cosC= = ，

∴AC=5 ，

在Rt△CDH中，∵cosC= = ，

∴CH= ，

∴CE=2CH=2 ，

∴AE=AC﹣CE=5 ﹣2 =3 ．

【解析】（1）連結OD、AD，如圖，先利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則根據等腰三角形的性質得BD=CD，再證明OD為△ABC的中位線得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根據切線的判定定理可判斷DH為⊙O的切線；（2）連結DE，如圖，有圓內接四邊形的性質得∠DEC=∠B，再證明∠DEC=∠C，然后根據等腰三角形的性質得到CH=EH；（3）利用余弦的定義，在Rt△ADC中可計算出AC=5 ，在Rt△CDH中可計算出CH= ，則CE=2CH=2 ， 然后計算AC﹣CE即可得到AE的長．