Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D為邊BC上一點，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足為點E．過點D作DF∥AB，交邊AC于點F，連接EF，EF2＝BDEC．

(1)求證：△EDF∽△EFC；

(2)如果，求證：AB＝BD．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

（1）利用兩邊成比例夾角相等兩個三角形相似即可證明；

（2）由△EDF∽△ADC，推出=（）2=，推出=，即ED=AD，由此即可解決問題.

(1)∵AB＝AD，AE⊥BC，

∴BE＝ED＝DB，

∵EF2＝BDEC，

∴EF2＝EDEC，即得＝，

又∵∠FED＝∠CEF，

∴△EDF∽△EFC；

(2)∵AB＝AD，

∴∠B＝∠ADB，

又∵DF∥AB，

∴∠FDC＝∠B，

∴∠ADB＝∠FDC，

∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，

∵△EDF∽△EFC，

∴∠EFD＝∠C，

∴△EDF∽△ADC，

∴＝()2＝，

∴＝，即 ED＝AD，

又∵ED＝BE＝BD，

∴BD＝AD，

∴AB＝BD．