Question

【題目】問題情景：一節數學課后，老師布置了一道練習題：

如圖1，已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝90°，CD⊥AB于點D，點E，F分別在AD和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于點G，求證：△CDE≌△EGF

（1）閱讀理解，完成解答：本題證明的思路可以用下列框圖表示：

根據上述思路，請你完整地寫出這道練習題的證明過程；

（2）特殊位置，證明結論：如圖2，若CE平分∠ACD，其余條件不變，判斷AE和BF的數量關系，并說明理由；

（3）知識遷移．探究發現：如圖3，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，若點E是DB的中點，點F在直線CB上，且EC＝EF，請直接寫出BF與AE的數量關系．（不必寫解答過程）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE＝BF；理由見解析；（3）AE＝BF．

【解析】

（1）先證明CE＝EF，利用AAS定理證明△CDE≌△EGF（AAS）即可；

（2）先證∠ACE＝∠2，再證明△ACE≌△BEF（AAS），即可得證AE＝BF；

（3）作EH⊥BC與H，設DE＝x，求出AE＝3x，再證出BF＝x，即可得出結論．

（1）證明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠B＝45°，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∴∠DCB＝45°，

∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，

∴∠ECF＝∠EFC，

∴CE＝EF，

∵CD⊥AB，FG⊥AB，

∴∠CDE＝∠EGF＝90°，

在△CDE和△EGF中，，

∴△CDE≌△EGF（AAS）；

（2）證明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE＝∠1，

∵∠1＝∠2，

∴∠ACE＝∠2，

在△ACE和△BEF中，，

∴△ACE≌△BEF（AAS），

∴AE＝BF；

（3）解：AE＝BF，作EH⊥BC與H，如圖3所示：

設DE＝x，根據題意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，

根據勾股定理得：BC＝AC＝2x，

∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，

∴BH＝x，

∴CH＝BC﹣BH＝x，

∵EC＝EF，

∴FH＝CH＝x，

∴BF＝x﹣x＝x，

∴＝＝，

∴AE＝BF．