Question

【題目】如圖1，是的直徑，弦于G，過C點的切線與射線相交于點E，直線與交于點H，，.

（Ⅰ）求的半徑；

（Ⅱ）將射線繞D點逆時針旋轉，得射線（如圖2），與交于點M，與及切線分別相交于點N，F，當時，求切線的長.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由題意連接，結合圓的切線定理和等邊三角形性質以及平行線性質和同弧所對的圓心角與圓周角之間的關系進行分析求解；

（Ⅱ）根據題意過點F作.交延長線于點Q，并設，則，，利用勾股定理建立方程求解進而得出切線的長.

解：（Ⅰ）連接，

∵為的切線，

∴

∴

∵，

∴，

又∵

∴

∴為等邊三角形

∴

∴

∵，

∴

由同弧所對的圓心角與圓周角之間的關系可知：

∴

∴

∴

在中，，，

∴

∴

即的半徑為2.

（Ⅱ）如圖2，過點F作.交延長線于點Q，

∴，

∵，

∴，

∴，

設，則，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，，

又∵，

∴，

解得，

∴.