Question

【題目】如圖所示，以的邊為直徑作，點在上，是的弦，，過點作于點，交于點，過點作交的延長線于點．

（1）求證：是的切線；

（2）求證：；

（3）若，CG=4，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

(1)連接OC，先證得，根據垂徑定理得到OC⊥BD，根據CE//BD推出OC⊥CE，即可得到結論．

(2)根據圓周角定理得出∠ACB=90°，然后根據同角的余角相等得出∠A=∠BCF，即可證得∠BCF=∠CBD，根據同角對等邊即可證得結論．

(3)連接AD，根據圓周角定理得出∠ADB=90°，即可求得∠BAD=60°，根據圓周角定理得出∠DAC=∠BAC=30°，解直角三角形求得，然后根據三角形相似和等腰三角形的判定即可求得BE的值．

（1）連接OC

∵∠A=∠CBD

∴

∴OC⊥BD

∵CE//BD

∴OC⊥CE

∴CE是⊙O的切線

（2）∵AB為直徑

∴∠ACB=90°

∵CF⊥AB

∴∠ACB=∠CFB=90°

∵∠ABC=∠CBF

∴∠A=∠BCF

∵∠A=∠CBD

∴∠BCF=∠CBD

∴CG=BG

（3）連接AD，

∵AB為直徑

∴∠ADB=90°

∵∠DBA=30°

∴∠BAD=60°

∵

∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=30°

∴

∵CE//BD，

∴∠E=∠DBA=30°

∴AC=CE，

∴

∵∠BAC =∠BCF=∠CBD=30°

∴∠BCE=30°

∴BE=BC，

∴△CGB∽△CBE，

∴

∵CG=4，

∴BC=

∴BE=

故答案為：