Question

【題目】在中，，，點是線段的中點，點在射線上，連接，平移，使點移動到點，得到（點與點對應，點與點對應），交于點．

（1）若點是線段的中點，如圖1．

①依題意補全圖1；

②求的長；

（2）若點在線段的延長線上，射線與射線交于點，若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；（2）CE＝

【解析】

（1）①利用平移的性質畫出圖形；

②利用相似得出比例，即可求出線段DP的長．
（2）根據條件MQ＝DP，利用平行四邊形的性質和相似三角形的性質，求出BN的長即可解決．

解：（1）①如圖1，補全圖形

②連接AD，如圖1．
在Rt△ABN中，
∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1，
∴AN＝，
∵線段AN平移得到線段DM，
∴DM＝AN＝，
AD＝NM＝1，AD∥MC，
∴△ADP∽△CMP．
∴，

∴；

（2）如圖，連接NQ，

由平移知：AN∥DM，且AN＝DM．
∵MQ＝DP，
∴PQ＝DM．
∴AN∥PQ，且AN＝PQ．
∴四邊形ANQP是平行四邊形．
∴NQ∥AP．
∴∠BQN＝∠BAC＝45°．
又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°，
∴BN＝BQ．
∵AN∥MQ，
∴，

又∵M是BC的中點，且AB＝BC＝4，
∴，
∴NB＝或（負數舍去）．
∴ME＝BN＝．
∴CE＝