Question

【題目】已知菱形的一個角與三角形的一個角重合，然后它的對角頂點在這個重合角的對邊上，這個菱形稱為這個三角形的親密菱形，如圖，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以點C為圓心，以任意長為半徑作AD，再分別以點A和點D為圓心，大于AD長為半徑做弧，交EF于點B，AB∥CD.

（1）求證：四邊形ACDB為△CFE的親密菱形；

（2）求四邊形ACDB的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ACDB的面積為8.

【解析】

（1）依題可得：AC=CD,AB=DB,BC是∠FCE的角平分線,根據角平分線的定義和平行線的性質得∠ACB=∠ABC，根據等角對等邊得AC=AB，從而得AC=CD=DB=BA，根據四邊相等得四邊形是菱形即可得四邊形ACDB是菱形；再根據題中的新定義即可得證.
（2）設菱形ACDB的邊長為x，根據已知可得CF=6,CE=12,FA=6-x，根據相似三角形的判定和性質可得 ，解得：x=4,過點A作AH⊥CD于點H,在Rt△ACH中，根據銳角三角形函數正弦的定義即可求得AH ,再由四邊形的面積公式即可得答案.

（1）由已知得：AC=CD，AB=DB，由已知尺規作圖痕跡得：BC是∠FCE的角平分線，

∴∠ACB=∠DCB，

又∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠DCB，

∴∠ACB=∠ABC，

∴AC=AB，

又∵AC=CD，AB=DB，

∴AC=CD=DB=BA，

四邊形ACDB是菱形，

又∵∠ACD與△FCE中的∠FCE重合，它的對角∠ABD頂點在EF上，

∴四邊形ACDB為△FEC的親密菱形.

（2）設菱形ACDB的邊長為x，∵CF=6，CE=12，

∴FA=6-x，

又∵AB∥CE，

∴△FAB∽△FCE，

∴ ，

即 ，

解得：x=4，

過點A作AH⊥CD于點H，

在Rt△ACH中，∠ACH=45°，

∴sin∠ACH= ，

∴AH=4× =2，

∴四邊形ACDB的面積為： .