Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，點D、E都在邊BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，則DE的長為________.

Answer 1

【答案】3-3．

【解析】

將△ABD繞點A逆時針旋轉120°得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，由AB=AC=2、∠BAC=120°，可得出∠ACB=∠B=30°，根據旋轉的性質可得出∠ECG=60°，結合CF=BD=2CE可得出△CEG為等邊三角形，進而得出△CEF為直角三角形，通過解直角三角形求出BC的長度以及證明全等找出DE=FE，設EC=x，則BD=CF=2x，DE=FE=6-3x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出FE=x，利用FE=6-3x=x可求出x以及FE的值，此題得解．

將△ABD繞點A逆時針旋轉120°得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，如圖所示．

∵AB=AC=2，∠BAC=120°，

∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，

∴∠ECG=60°．

∵CF=BD=2CE，

∴CG=CE，

∴△CEG為等邊三角形，

∴EG=CG=FG，

∴∠EFG=∠FEG=∠CGE=30°，

∴△CEF為直角三角形．

∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，

∴∠BAD+∠CAE=60°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．

在△ADE和△AFE中，

，

∴△ADE≌△AFE（SAS），

∴DE=FE．

設EC=x，則BD=CF=2x，DE=FE=6-3x，

在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，

EF==x，

∴6-3x=x，

x=3-，

∴DE=x=3-3．

故答案為：3-3．