Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸負半軸相交于點A，與y軸正半軸相交于點B，，直線l過A、B兩點，點D為線段AB上一動點，過點D作軸于點C，交拋物線于點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若拋物線與x軸正半軸交于點F，設點D的橫坐標為x，四邊形FAEB的面積為S，請寫出S與x的函數關系式，并判斷S是否存在最大值，如果存在，求出這個最大值；并寫出此時點E的坐標；如果不存在，請說明理由．

（3）連接BE，是否存在點D，使得和相似？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）與x的函數關系式為，S存在最大值，最大值為18，此時點E的坐標為．（3）存在點D，使得和相似，此時點D的坐標為或．

【解析】

利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點A、B的坐標，結合即可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出結論；

由點A、B的坐標可得出直線AB的解析式待定系數法，由點D的橫坐標可得出點D、E的坐標，進而可得出DE的長度，利用三角形的面積公式結合即可得出S關于x的函數關系式，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；

由、，利用相似三角形的判定定理可得出：若要和相似，只需或，設點D的坐標為，則點E的坐標為，進而可得出DE、BD的長度當時，利用等腰直角三角形的性質可得出，進而可得出關于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出結論；當時，由點B的縱坐標可得出點E的縱坐標為4，結合點E的坐標即可得出關于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出結論綜上即可得出結論．

當時，有，

解得：，，

點A的坐標為．

當時，，

點B的坐標為．

，

，解得：，

拋物線的解析式為．

點A的坐標為，點B的坐標為，

直線AB的解析式為．

點D的橫坐標為x，則點D的坐標為，點E的坐標為，

如圖．

點F的坐標為，點A的坐標為，點B的坐標為，

，，，

．

，

當時，S取最大值，最大值為18，此時點E的坐標為，

與x的函數關系式為，S存在最大值，最大值為18，此時點E的坐標為．

，，

若要和相似，只需或如圖．

設點D的坐標為，則點E的坐標為，

，

當時，，

，

，

為等腰直角三角形．

，即，

解得：舍去，，

點D的坐標為；

當時，點E的縱坐標為4，

，

解得：，舍去，

點D的坐標為．

綜上所述：存在點D，使得和相似，此時點D的坐標為或．

故答案為：（1）；（2）與x的函數關系式為，S存在最大值，最大值為18，此時點E的坐標為．（3）存在點D，使得和相似，此時點D的坐標為或．