Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣3，0）、C（0，4），點B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．
（1）求拋物線的解析式；
（2）線段AB上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

∵A（﹣3，0），C（0，4），

∴OA=3，OC=4．

∵∠AOC=90°，

∴AC=5．

∵BC∥AO，AB平分∠CAO，

∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．

∴BC=AC．

∴BC=5．

∵BC∥AO，BC=5，OC=4，

∴點B的坐標為（5，4）．

∵A（﹣3，0）、C（0，4）、B（5，4）在拋物線y=ax2+bx+c上，

∴

解得：

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4

（2）解：如圖2，

設直線AB的解析式為y=mx+n，

∵A（﹣3，0）、B（5，4）在直線AB上，

∴

解得：

∴直線AB的解析式為y= x+ ．

設點P的橫坐標為t（﹣3≤t≤5），則點Q的橫坐標也為t．

∴yP= t+ ，yQ=﹣ t2+ t+4．

∴PQ=yQ﹣yP=﹣ t2+ t+4﹣（ t+ ）

=﹣ t2+ t+4﹣ t﹣

=﹣ t2+ +

=﹣ （t2﹣2t﹣15）

=﹣ [（t﹣1）2﹣16]

=﹣ （t﹣1）2+ ．

∵﹣ ＜0，﹣3≤t≤5，

∴當t=1時，PQ取到最大值，最大值為 ．

∴線段PQ的最大值為 ．

（3）解：①當∠BAM=90°時，如圖3所示．

拋物線的對稱軸為x=﹣ =﹣ = ．

∴xH=xG=xM= ．

∴yG= × + = ．

∴GH= ．

∵∠GHA=∠GAM=90°，

∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．

∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，

∴△AHG∽△MHA．

∴ ．

∴ = ．

解得：MH=11．

∴點M的坐標為（ ，﹣11）．

②當∠ABM=90°時，如圖4所示．

∵∠BDG=90°，BD=5﹣ = ，DG=4﹣ = ，

∴BG=

=

= ．

同理：AG= ．

∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，

∴△AGH∽△MGB．

∴ ．

∴ = ．

解得：MG= ．

∴MH=MG+GH

= +

=9．

∴點M的坐標為（ ，9）．

綜上所述：符合要求的點M的坐標為（ ，9）和（ ，﹣11）．

【解析】（1）如圖1，易證BC=AC，從而得到點B的坐標，然后運用待定系數法求出二次函數的解析式．（2）如圖2，運用待定系數法求出直線AB的解析式．設點P的橫坐標為t，從而可以用t的代數式表示出PQ的長，然后利用二次函數的最值性質就可解決問題．（3）由于AB為直角邊，分別以∠BAM=90°（如圖3）和∠ABM=90°（如圖4）進行討論，通過三角形相似建立等量關系，就可以求出點M的坐標．
【考點精析】認真審題，首先需要了解確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)，還要掌握二次函數的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)的相關知識才是答題的關鍵．