Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E,F分別在AC,BC上運動，（點E不與點A,C重合），且保持AE=CF，連接DE，EF，再次運動變化過程中，有下列結論：①四邊形CEDF有可能成為正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四邊形CEDF的面積是定值．其中正確的結論是：______________．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①連接CD，當E為AC中點，F為BC中點時，四邊形CEDF為正方形；
②由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
③由②△ADE≌△CDF，就有S△ADE=S△CDF，再通過等量代換就可以求出結論；

解：①連接CD，當E、F分別為AC、BC中點時，

∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中點，
∴△ACD和△BCD均為等腰直角三角形，
∴DF=DE=CE=CF，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形CDFE是正方形，故此選項正確；
②∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此選項正確；
③∵△ADE≌△CDF，
∴S△ADE=S△CDF．
∵S四邊形CEDF=S△CED+S△CFD，
∴S四邊形CEDF=S△CED+S△AED，
∴S四邊形CEDF=S△ADC．

∴四邊形CEDF的面積是定值4，故本選項正確；

故答案為：①②③．