Question

【題目】如圖，拋物線經過點A（3，0），B（，0），與y軸交于點C，點P是拋物線在第四象限內的一點.

（1）求拋物線解析式；

（2）點D是線段OC的中點，OP⊥AD，點E是射線OP上一點，OE=AD，求DE的長；

（3）連接CP，AP，是否存在點P，使得OP平分四邊形ABCP的面積？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）（，）

【解析】

（1）拋物線的表達式為：，故，解得：，即可求解；

（2）過E點作交OC于點，利用易證，則可根據AAS證明得到，可得與點重合，則有，得到是等腰直角三角形，可求得；

（3）根據OP平分四邊形ABCP的面積，有，設P的橫坐標為x，則縱坐標為：，得到，化簡即可得出P點的坐標．

解：（1）拋物線的表達式為：，
則有：，解得：，
故拋物線的表達式為：；

（2）過E點作交OC于點，

又（1）可知，拋物線的表達式為，

∴C的坐標為：（0，-3），

∴,

∵,

∴

∵

∴

在和中

∴

∴，,

∴,

即與點重合，

∴

又∵點D是線段OC的中點，

∴,

∴是等腰直角三角形，

∴；

（3）答：存在點P，使得OP平分四邊形ABCP的面積．

證明：設P的橫坐標為x，則縱坐標為：，

根據OP平分四邊形ABCP的面積，

有：，

即：

∴

解之得：，（不合題意，舍去），

∴縱坐標為：，

∴P的坐標為：（2，-3）．