Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣2x+4分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線過A，B兩點，拋物線y=﹣2x2+bx+c過A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D，設其頂點為M，其對稱軸交AB于點N．是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

（3）如圖2，點E（0，1）在y軸上，連接AE，拋物線上是否存在一點F，使∠FEO與∠EAO互補，若存在，求點F的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x2+2x+4；（2）不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；理由見解析；（3）存在，點F的橫坐標為或時，∠FEO與∠EAO互補．

【解析】

（1）求出直線y=﹣2x+4與x軸、y軸交點A、B的坐標，再利用待定系數法求解即可；

（2）利用函數解析式求出拋物線的頂點M的坐標為（，），求出MN的長度，

設P點坐標為（m，﹣2m+4），則D（m，﹣2m2+2m+4），求出PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，根據平行四邊形的性質列PD=MN求出m，得到PN==，由PN≠MN確定不存在滿足條件的點P；

（3）過點F作FH⊥y軸于點H，則∠FEO+∠FEH=180°，當∠FEO+∠EAO=180°時，推出∠FEH=∠EAO，證明△AOE∽△∠EFH，得到，再分兩種情況：當點F在y軸右側時，點F在y軸左側時，分別將線段長度代入比例式求出t即可.

解：（1）當x=0時，y=4，當y=0時，x=2，

∴點A（2，0），點B（0，4），

把A（2，0），B（0，4）分別代入y=﹣2x2+bx+c中得

，

解之得，

∴拋物線解析式為：y=﹣2x2+2x+4；

（2）不存在．

理由如下：y=﹣2x2+2x+4=（x-）2+，

∴拋物線頂點M（，），

當x=時，y==-3，

∴MN=﹣3=，

設P點坐標為（m，﹣2m+4），則D（m，﹣2m2+2m+4），

∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，

∵PD∥MN，

當PD=MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，即﹣2m2+4m=，

解得m1=（舍去），m2=，此時P點坐標為（，1），

∵PN==，

∴PN≠MN，

∴平行四邊形MNPD不為菱形，

∴不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；

（3）存在.

如圖，過點F作FH⊥y軸于點H，則∠FEO+∠FEH=180°，

當∠FEO+∠EAO=180°時，∠FEH=∠EAO，

∵∠FHE=∠AOE=90°，

∴△AOE∽△∠EFH，

∴，

設點F（t，﹣2t2+2t+4)，則HE=﹣2t2+2t+4﹣1=﹣2t2+2t+3，

當點F在y軸右側時，HF=t，

∴，

解之得：t=，

∵點F在y軸右側，

∴t=，

當點F在y軸左側時，BF=-t，

∴，

解之得：t=，

∵點F在y軸左側

∴t=．

綜上所述：當點F的橫坐標為或時，∠FEO與∠EAO互補.