Question

【題目】如圖，在中，，，，M是AB上的動點不與A、B重合，過點M作交AC于點N，以MN為直徑作，并在內作內接矩形設．

的面積______，______；用含x的代數式表示

在動點M的運動過程中，設與四邊形MNCB重合部分的面積為試求y關于x的函數表達式，并求出x為何值時，y的值最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）；；（2）y關于x的函數表達式為，當時，y的值最大，最大值為．

【解析】

在中，利用勾股定理可求出BC的值，由，利用平行線分線段成比例可求出AN、MN的值，再利用三角形的面積公式結合矩形的性質即可求出的面積S的值；

分及兩種情況考慮：當時，利用的結論可得出y關于x的函數關系式，利用二次函數的性質可求出此時y的最大值；當時，由可得出BM、PF的值，利用三角形的面積公式結合可得出y關于x的函數關系式，利用二次函數的性質可求出此時y的最大值綜上，此題得解．

在中，，，，

．

，

，即．

，

，，

．

四邊形AMPN為矩形，

．

故答案為：；

當點M為線段AB中點時，點P落在線段BC上，

分及兩種情況考慮．

當時，如圖1所示．

，

，

當時，y取最大值，最大值為1；

當時，如圖2所示．

，則，，

，

，

，

．

，

當x取時，y取最大值，最大值為．

綜上所述：y關于x的函數表達式為，

當時，y的值最大，最大值為．