Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于點A（6，0），C（﹣2，0），與y軸交于點B，拋物線的頂點為D，對稱軸交AB于點E，交x軸于點F．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上對稱軸左側一點，連接EP，若tan∠BEP＝，求點P的坐標；

（3）M是直線CD上一點，N是拋物線上一點，試判斷是否存在這樣的點N，使得以點B，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點N的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）點P的坐標為（2﹣2，2）或（，）；（3）存在，滿足條件的N點坐標為（4，3）或（﹣4，﹣5）或（2，1+2）或（﹣2，1﹣2）．

【解析】

（1）將點A（6，0），C（﹣2，0）代入y＝ax2+x+c即可求解析式；

（2）求出直線AB、CD的解析式，點E的坐標（2，2），由已知可得∠BEP＝∠BAO，分兩種情況求P點坐標：①過點E作EQ∥x軸交拋物線于點P1，交y軸于點Q，當y＝2時求P1點坐標；②作點Q關于AB的對稱點Q'，連接BQ'，EQ'，過點Q'作Q'H⊥y軸于點H，過點E作EG⊥Q'H于點G，可以證明△BHQ'∽△Q'GE，得到 ，設BH＝m，則Q'G＝2m，GE＝m+1，HQ'＝（m+1），由HQ'+Q'G＝HG＝2，求出m＝，可求Q'（，），直線EQ'的解析式為y＝﹣x+，聯立方程組并解答，即可求P點坐標；

（3）由平行四邊形對角線互相平分，分兩種情況求解：①BE∥MN時，BN的中點與EM的中點重合；②當BM∥NE時，BE的中點與MN的中點重合；建立關系式求出N點坐標．

解：（1）將點A（6，0），C（﹣2，0）代入y＝ax2+x+c，

則有 ，

∴ ，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+3；

（2）由題可求B（0，3），D（2，4），

設直線AB的解析式為y＝k1x+b1，

將A（6，0），B（0，3）代入可得 ，

∴ ，

∴y＝﹣x+3，

設直線CD的解析式為y＝k2x+b2，

將C（﹣2，0），D（2，4）代入可得 ，

∴，

∴y＝x+2，

∵拋物線的對稱軸為x＝2，

∴E（2，2），

∴tan∠BAO＝，

∵tan∠BEP＝，

∴∠BEP＝∠BAO，

①如圖1：過點E作EQ∥x軸交拋物線于點P1，交y軸于點Q，

當y＝2時，﹣x2+x+3＝2，

解得x＝2﹣2 或x＝2+2（舍），

∴P1（2﹣2，2）；

②在①中，點Q坐標為（0，2），作點Q關于AB的對稱點Q'，連接BQ'，EQ'，

則BQ'＝BQ＝1，EQ'＝EQ＝2，

過點Q'作Q'H⊥y軸于點H，過點E作EG⊥Q'H于點G，

∵∠BQ'E＝90°，

∴∠BQ'H＝90°﹣∠GQ'E＝∠Q'EG，

∵∠BHQ'＝∠Q'GE＝90°，

∴△BHQ'∽△Q'GE，

∴，

∴設BH＝m，則Q'G＝2m，GE＝m+3﹣2＝m+1，HQ'＝（m+1），

∵HQ'+Q'G＝HG＝2，

∴（m+1）+2m＝2，

∴m＝，

∴HO＝，HQ'＝，

∴Q'（，），

易得直線EQ'的解析式為y＝﹣x+，

解方程組 ，

解得 或（舍），

∴P2（，）；

綜上所述：點P的坐標為（2﹣2，2）或（，）；

（3）∵M是直線CD上一點，N是拋物線上一點，

設M（m，m+2），N（x，﹣x2+x+3），已知B（0，3），E（2，2），

①當BE∥MN時，BN的中點為（ ），ME的中點為（ ，），

∴，

∴x＝±4，

∴N（4，3）或N（﹣4，﹣5）；

②當BM∥NE時，BE的中點為（1，），MN的中點為（ ），

∴ ＝1， ，

∴x＝±2，

∴N（2，1+2）或N（﹣2，1﹣2）；

綜上所述：滿足條件的N點坐標為（4，3）或（﹣4，﹣5）或（2，1+2）或（﹣2，1﹣2）．