Question

【題目】（問題情境）定義：如圖1，點E在四邊形ABCD的邊CD上，若AE、BE將四邊形ABCD分割成三個相似的三角形，則稱點E為該四邊形的相似點．

（1）若相似點在四邊形ABCD的邊CD上， 且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個正三角形，則四邊形ABCD的四邊形之比(按邊長從小到大排序)為_______．

（2）若相似點在四邊形ABCD的邊CD上，且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個全等的等腰直角三角形，則四邊形ABCD的四邊形之比(按邊長從小到大排序)為_______．

（3）（探索研究）

如圖2，點E為四邊形ABCD邊上的相似點，且AE、BE將四邊形ABCD分割成三個全等的三角形，已知∠ABC=90°，AD=AB=BC=2，求邊CD的長．

（4）（問題解決）

如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E為四邊形ABCD的邊CD上的相似點，且AD=a，AB=b，BC=c(其中a≠c)，此時邊CD的長為多少？請用含a、b、c的代數式直接寫出所有可能的結果．

Answer 1

【答案】（1）四邊長度的比為1:1：1:2；（2）四邊之比為1:1：：2；（3）CD=；（4）CD=

【解析】

（1）根據相似點的定義以及分成三個正三角形得出這三個三角形全等，從而得出邊之比；

（2）根據等腰直角三角形邊之間的關系為設參數即可得出答案；

（3）根據全等以及尋找出特殊角度的三角形再進行求解；

（4）根據和相似點的定義判斷出四邊形是平行四邊形，從而得出，再根據對應邊成比例計算，從而得出答案．

（1）∵均為正三角形，且三個三角形相似

∴這三個三角形全等

設

∴則

∴四邊長度的比為

（2）∵三個三角形為等腰直角三角形

∴設，則

∴四邊之比為

（3）過點A作AF⊥DE如圖：

∵

∴

∴在直角三角形中：

在直角三角形中,,

∴=++=

（4）∵

根據相似點的含義可知，

∴,,

∵

∴四邊形是平行四邊形

∴

∴

∴

∴