Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE分別是以BC，DE為底邊且頂角相等的等腰三角形，點D在線段BC上，AF平分DE交BC于點F，連接BE，EF．

（1）CD與BE相等？若相等，請證明；若不相等，請說明理由；

（2）若∠BAC=90°，求證：BF2+CD2=FD2．

Answer 1

【答案】（1）CD=BE，理由見解析；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）由兩個三角形為等腰三角形可得AB＝AC，AE＝AD，由∠BAC＝∠EAD可得∠EAB＝∠CAD，根據“SAS”可證得△EAB≌△CAD，即可得出結論；

（2）根據（1）中結論和等腰直角三角形的性質得出∠EBF＝90°，在Rt△EBF中由勾股定理得出BF2＋BE2＝EF2，然后證得EF＝FD，BE＝CD，等量代換即可得出結論．

詳解：（1）CD＝BE，理由如下：

∵△ABC和△ADE為等腰三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，

∵∠EAD＝∠BAC，

∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，

即∠EAB＝∠CAD，

在△EAB與△CAD中，

∴△EAB≌△CAD，

∴BE＝CD；

（2）∵∠BAC＝90°，

∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠ABF＝∠C＝45°，

∵△EAB≌△CAD，

∴∠EBA＝∠C，

∴∠EBA＝45°，

∴∠EBF＝90°，

在Rt△BFE中，BF2＋BE2＝EF2，

∵AF平分DE，AE＝AD，

∴AF垂直平分DE，

∴EF＝FD，

由（1）可知，BE＝CD，

∴BF2＋CD2＝FD2．