Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一點，BD＝2，E是BC上一動點，聯結DE，并作∠DEF＝∠B，射線EF交線段AC于F．

（1）求證：△DBE∽△ECF；

（2）當F是線段AC中點時，求線段BE的長；

（3）聯結DF，如果△DEF與△DBE相似，求FC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2或3；（3）2或

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠C，由三角形的內角和和平角的定義得到∠DEF＝∠B，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據相似三角形的性質得到結論；

（3）當∠BED＝∠EDF，得到DF∥BC，根據平行線的性質得到∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，根據等腰三角形的性質得到CF＝2；當∠DFE＝∠BED，推出點E在∠BDF與∠DFC的角平分線上，過E 作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，連接AE，得到AE是∠BAC的角平分線，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）∵AB＝AC＝6，

∴∠B＝∠C，

∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED，∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED，

∵∠DEF＝∠B，

∴∠BDE＝∠CEF，

∴△DBE∽△ECF；

（2）∵△DBE∽△ECF，

∴，

∵F是線段AC中點，

∴CF＝AC＝3，

∴，

∴BE＝2或3；

（3）∵△DEF與△DBE相似，

∴∠BED＝∠EDF，或∠DFE＝∠BED，

當∠BED＝∠EDF，

∴DF∥BC，

∴∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，

∴∠ADF＝∠AFD，

∴AD＝AF＝4，

∴CF＝2；

當∠DFE＝∠BED，

∵△DBE∽△ECF，

∴∠BED＝∠CFE，

∴∠DFE＝∠CFE，∠BDE＝∠FDE，

∴點E在∠BDF與∠DFC的角平分線上，

過E 作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，連接AE，

∴EM＝EG＝EN，

∴AE是∠BAC的角平分線，

∴BE＝CE＝，

∵△DBE∽△ECF，

∴，

即＝，

∴CF＝．

綜上所述，FC的長為2或．