Question

【題目】（本題滿分10分）（1）問題發現

如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE，

填空：①∠AEB的度數為 ；

②線段AD、BE之間的數量關系是 ．

（2）拓展探究

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900， 點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請判斷∠AEB的度數及線段CM、AE、BE之間的數量關系，并說明理由．

（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD=．若點P滿足PD=1，且∠BPD=900，請直接寫出點A到BP的距離．

Answer 1

【答案】（1）①60；②AD=BE；（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE，理由見試題解析；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．

（3）由PD=1可得：點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進行討論．然后，添加適當的輔助線，借助于（2）中的結論即可解決問題．

試題解析：（1）①如圖1，

∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．

∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

故答案為：60°．

②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案為：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如圖2，

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，

∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）∵PD=1，∴點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上．

∵∠BPD=90°，∴點P在以BD為直徑的圓上，∴點P是這兩圓的交點．

①當點P在如圖3①所示位置時，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，

過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．

∵DP=1，∴BP=．

∵A、P、D、B四點共圓，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP，∴由（2）中的結論可得：BP=2AH+PD．

∴=2AH+1，∴AH=；

②當點P在如圖3②所示位置時，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，

過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②．

同理可得：BP=2AH﹣PD，∴=2AH﹣1，∴AH=．

綜上所述：點A到BP的距離為或．