Question

【題目】如圖，ABCD中，G是CD的中點，E是邊長AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線相交于點F，連接CE，DF．

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形．

（2）填空：若AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，則①當AE＝　 　時，四邊形CEDF是矩形；②當AE＝　 　時，四邊形CEDF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①；②2.

【解析】

（1）只要證明△FCG≌△EDG，可得FG=EG，結合CG=GD即可證明；

（2））①如圖四邊形CEDF是矩形時，在Rt△CDF中，CD=AB=3，∠DCF=60°，∠CFD=90°，易知CF=CD=，由ED=CF=，即可推出AE=AD-DE=

②如圖四邊形CEDF是菱形時，易知△CDF，△CDE都是等邊三角形，推出DE=CD=AB=3，可得AE=AD-ED=5-3=2

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠FCG＝∠EDG，∠CFG＝∠DEG，又CG＝DG．

∴△FCG≌△EDG，

∴FG＝EG．

∴四邊形CEDF是平行四邊形．

（2）①如圖四邊形CEDF是矩形時，在Rt△CDF中，CD＝AB＝3，∠DCF＝60°，∠CFD＝90°，

∴CF＝ CD＝．

∵ED＝CF＝，

∴AE＝AD﹣DE＝

②如圖四邊形CEDF是菱形時，易知△CDF，△CDE都是等邊三角形，

∴DE＝CD＝AB＝3，

∴AE＝AD﹣ED＝5﹣3＝2．

故答案為，2．